Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-log_m（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  3

  ）
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、[3，+∞）
• D、（1，3]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，求出函數(shù)f（x）的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）時(shí)，x+1∈（0，1），
則f（x）+1=

1

f(x+1)

=

1

x+1

，
∴f（x）═

1

x+1

-1，
若函數(shù)g（x）=f（x）-log_m（x+2）有兩個(gè)零點(diǎn)，
則由g（x）=f（x）-log_m（x+2）=0
得f（x）=log_m（x+2）有兩個(gè)根，
即y=f（x）與y=g（x）=log_m（x+2）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)圖象如圖，
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，函數(shù)y=log_m（x+2）單調(diào)遞減，此時(shí)不滿(mǎn)足條件，
當(dāng)m＞1時(shí)，函數(shù)y=log_m（x+2）單調(diào)遞增，若兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
則滿(mǎn)足當(dāng)x=1時(shí)，g（1）≤1，即log_m3≤1，解得m≥3，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍，考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，和應(yīng)用圖象解決問(wèn)題的能力．