Question

在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C．
（1）在斜邊AB上任取一點M，求AM＜AC的概率；
（2）在△ACB的內部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率．

Answer 1

分析：（1）欲求AM＜AC的概率，先求出M點可能在的位置的長度，AC的長度，再讓兩者相除可得答案；
（2）由于過直角頂點C在∠ACB內部任作一射線CM，故可以認為所有可能結果的區域為∠ACB，可將事件A構成的區域為∠ACC'，以角度為“測度”加以計算，可得本題答案．

解答：解：（1）在等腰直角三角形ABC中，設AC長為1，則AB長為

2

，
在AB上取點D，使AD=1，則若M點在線段AB上，滿足條件．
∵AD=1，AB=

2

，
∴AM＜AC的概率為P₁=

AD

AB

=

2

2

．
（2）在AB上取AC'=AC，則∠ACC′=

180°-45°

2

=67.5°．
則所有可能結果的區域為∠ACB，事件A構成的區域為∠ACC'．
∵∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴AM＜AC的概率為P₂=

67.5°

90°

=

3

4

．
答：（1）在斜邊AB上任取一點M，則AM＜AC的概率是

2

2

；
（2）在∠ACB的內部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，則AM＜AC的概率為

3

4

．

點評：本題給出等腰Rt△ABC，求在兩種取法下使得AM＜AC的概率．著重考查了幾何概型及其應用的知識，屬于中檔題．解題時注意題意中的“測度”，準確把握“測度”是解決問題的關鍵．