Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，、分為、的中點，．

（）求證：平面平面．

（）若，求四面體的體積．

（）設，若平面與平面所成銳二面角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由題目給出的條件，可得四邊形ABFD為矩形，說明AB⊥BF，再證明AB⊥EF，由線面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根據面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；

（2）明確錐體的高為，即可得到幾何體的體積；

（3）以A點為坐標原點，AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間坐標系，利用平面法向量所成交與二面角的關系求出二面角的余弦值，根據給出的二面角的范圍得其余弦值的范圍，最后求解不等式可得a的取值范圍．

（）證明：∵，，，為的中點，

∴為矩形，，

又∵，是中點，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴平面，

又平面，

∴平面平面．

（）∵平面，，

∴平面，

∵，

∴中，，，，

∴的面積，

∴四面體的體積．

（）∵，

∴，

又，，

∴，

又，

∴平面，

∴，

如圖，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

∴，，

平面的法向量，

設平面的法向量為，

則，即，取，得，，

則，

∴，

∵平面與平面所成銳二面角，

∴，即，

由，得：，由得：或，

∴的取值范圍是．