Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且方程f（x）=x的解集為{1，2}．
（1）若方程f（x）=x²有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若a＜0，記f（x）的最大值為g（a），求a•g（a）的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意，f（x）-x=a（x-1）（x-2）；從而寫出f（x）；
（1）化簡方程f（x）=x²，從而可得△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，從而解出a，從而得到f（x）的解析式；
（2）由題意，g（a）=f（-

1-3a

2a

）；ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]，化簡求取值范圍．

解答： 解：由題意，f（x）-x=a（x-1）（x-2）；
故f（x）=a（x-1）（x-2）+x
=ax²+（1-3a）x+2a；
（1）由方程f（x）=x²有兩個相等的實根可得，
△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，
解得，a=-1；
故f（x）=-x²+4x-2；
（2）由題意，
g（a）=f（-

1-3a

2a

）；
ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]
=-

1

4

（a²-6a+1）
=-

1

4

（a-3）²+2，
∵a＜0，
∴-

1

4

（a-3）²+2＜-

1

4

；
故a•g（a）的取值范圍為（-∞，-

1

4

）．

點評：本題考查二次函數的性質應用，屬于基礎題．