Question

【題目】已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．
（Ⅰ）證明：坐標原點O在圓M上；
（Ⅱ）設圓M過點P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．

Answer 1

【答案】解：方法一：證明：（Ⅰ）當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，﹣2），
則 =（2，2）， =（2，﹣2），則 =0，
∴ ⊥ ，
則坐標原點O在圓M上；
當直線l的斜率存在，設直線l的方程y=k（x﹣2），設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
則x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0，
則y1y2=﹣4，
由 =x1x2+y1y2=0，
則 ⊥ ，則坐標原點O在圓M上，
綜上可知：坐標原點O在圓M上；
方法二：設直線l的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則y1y2=﹣4，
則（y1y2）2=4x1x2 ， 則x1x2=4，則 =x1x2+y1y2=0，
則 ⊥ ，則坐標原點O在圓M上，
∴坐標原點O在圓M上；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，
圓M過點P（4，﹣2），則 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2/span> ， ﹣2﹣y2），
由 =0，則（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
當k=﹣2時，直線l的方程為y=﹣2x+4，
則x1+x2= ，y1+y2=﹣1，
則M（ ，﹣ ），半徑為r=丨MP丨= = ，
∴圓M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．
當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x﹣2，
同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨= ，
∴圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
綜上可知：直線l的方程為y=﹣2x+4，圓M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2=
或直線l的方程為y=x﹣2，圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【解析】（Ⅰ）方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由 =0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的可得 =0，則坐標原點O在圓M上；
方法二：設直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得 =0，則坐標原點O在圓M上；
（Ⅱ）由題意可知： =0，根據向量數量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程．
【考點精析】本題主要考查了點斜式方程和斜截式方程的相關知識點，需要掌握直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為則：；直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為則：才能正確解答此題．