Question

已知橢圓的焦點為F₁(-1,0)、F₂(1,0),直線x=4是它的一條準線.

(1)求橢圓的方程;

(2)設A₁、A₂分別是橢圓的左頂點和右頂點，P是橢圓上滿足|PA₁|-|PA₂|=2的一點，求tan∠A₁PA₂的值；

(3)若過點(1,0)的直線與以原點為頂點、A₂為焦點的拋物線相交于點M、N，求MN中點Q的軌跡方程.

Answer 1

解：(1)設橢圓方程為+=1(a＞b＞0).

    由題設有

    解得∴b²=3.所求橢圓方程為+=1.

    (2)由題設知，點P在以A₁、A₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支上.

由(1)知A₁(-2,0),A₂(2,0),

    設雙曲線方程為-=1(m＞0,n＞0).

    則解得

     ∴雙曲線方程為x²-=1.

    由

    解得P點的坐標為(,)或(,-).當P點坐標為(,)時,tan∠A₁PA₂==-4.

    同理,當P點坐標為(,-)時，

    tan∠A₁PA₂=-4.

    故tan∠A₁PA₂=-4.

    (3)由題設知，拋物線方程為y²=8x.

    設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN的中點Q（x,y）,

    當x₁≠x₂時,有

   

    ①-②,得 (y₁+y₂)=8,

    將④⑤代入上式，

    有·2y=8,

    即y²=4(x-1)(x≠1).

    當x₁=x₂時，MN的中點為(1,0)，仍滿足上式.

    故所求點Q的軌跡方程為y²=4(x-1).