Question

【題目】已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為.

（1）求軌跡的方程

（2）若軌跡上存在兩個不同點，關于直線對稱，求面積的最大值（為坐標原點）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據在圓內，所以圓內切于圓，則有，即，根據橢圓的定義，可知點的軌跡是橢圓再求解.

（2）根據，關于直線對稱，直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，得，根據直線與橢圓有兩個不同的交點，，的中點在直線上，得到 的取值范圍，再利用 求解.

(1)因為在圓內，所以圓內切于圓，

所以

即，

所以點的軌跡是以和為焦點，長軸長為的橢圓，

因為，，所以，

所以點的軌跡方程為：；

（2）由題意知，可設直線的方程為，

由消去，得，

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以，①

所以中點，代入直線方程，解得，②

由①②解得，或，

令，則，

且到直線的距離為，

設的面積為，

所以，當且僅當時，等號成立，

所以面積的最大值為.