Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓上 上的點（不與點A、C重合），延長BD至F．

（1）求證：AD延長線DF平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為2+ ，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，∵A，B，C，D四點共圓，∴∠CDF=∠ABC．

又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又由對頂角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，

即AD的延長線DF平分∠CDE

（2）解：設O為外接圓圓心，連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC．連接OC，

由題意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，

設圓半徑為r，則r+ r=2+ ，得r=2，外接圓的面積為4π．

【解析】（1）根據A，B，C，D四點共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．（2）設O為外接圓圓心，連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC．連接OC，設圓半徑為r，則r+ r=2+ ，求出r，即可求△ABC外接圓的面積．