Question

（本小題滿分15分）
給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點的距離為．
（1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
（2）若點是橢圓C的“準圓”與軸正半軸的交點，是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準圓”上任取一點，過點作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，試判斷是否垂直？并說明理由．

Answer 1

（1）．（2）．（3）對于橢圓上的任意點，都有．

試題分析：（1）由題意知，且，可得，
故橢圓C的方程為，其“準圓”方程為．  
（2）由題意，可設，則有，
又A點坐標為，故，
故
,                  
又，故，
所以的取值范圍是．               
（3）設，則．
當時，，則其中之一斜率不存在，另一斜率為0，顯然有．
當時，設過且與橢圓有一個公共點的直線的斜率為，
則的方程為，代入橢圓方程可得
，即，
由，       
可得，其中，
設的斜率分別為，則是上述方程的兩個根，
故，即．
綜上可知，對于橢圓上的任意點，都有．
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題新定義了“準圓”，解答時要注意審題，明確其特征。本題易漏“其中之一斜率不存在，另一斜率為0， 的情況。