Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，PA=2，點M在線段PD上． （Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°，試確定點M的位置．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD， 所以 PA⊥AC，PA⊥AB，
又因為PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，
又因為AC⊥平面PAB，AB平面PAB，
所以AC⊥AB，
因為AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz．

則A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2）， ， ，
設M（x，y，z）， ，則（x，y，z﹣2）=t（﹣2，2，﹣2），
故點M坐標為（﹣2t，2t，2﹣2t）， ，
設平面MAC的法向量為 =（x，y，z），則 ，
所以 ，
令z=1，則 =（ ）．
又平面ACD的法向量 =（0，0，1），
所以cos45°= = ，解得t= ，
故點M為線段PD的中點．
【解析】（Ⅰ）由已知條件推導出PA⊥AC，PA⊥AB，從而得到AC⊥平面PAB，由此能證明AB⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能證明點M為線段PD的中點．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．