Question

【題目】已知函數.

（1）若是偶函數，求的值；

（2）設函數，當時，有且只有一個實數根，求的取值范圍；

（3）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數根，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據是偶函數，可得，利用恒等，即可求出結果；

（2）當時，有且只有一實根，可得，然后再利用換元法，設，，轉化為，有一實根，根據根的分布，即可求出結果；

（3）設，對分段函數的零點分析可得，即，，消除，整理可得，進而可得，據此即可求證結果.

(1)是偶函數，所以，則.

所以.

(2)當時，有且只有一實根，即，

設，則，

所以，有一實根，

∵恒成立，兩根之積小于0，所以，

∴.

(3)不妨設，則，

若，與矛盾，

若，與是單調函數矛盾，

所以；

所以①，②，

由①，得：，由②，得：；

聯立①、②消去得：，即，則.

因為，所以，即.