Question

設函數f（x）=

1-|x-1|，x＜2 1 2 f(x-2)，x≥2

，則函數F（x）=xf（x）-1的零點的個數為

6

．

Answer 1

分析：由F（x）=xf（x）-1=0，得f（x）=

1

x

，設y=f（x）與y=

1

x

，在同一坐標系中分別畫出兩個函數圖象，由圖象即可求出兩個函數的交點個數，即函數F（x）=xf（x）-1的零點個數．

解答：解：∵F（x）=xf（x）-1，
∴由F（x）=xf（x）-1=0，
得f（x）=

1

x

，
設y=f（x）與y=

1

x

，在同一坐標系中分別畫出兩個函數圖象，由圖象即可求出兩個函數的交點個數，即函數F（x）=xf（x）-1的零點個數．
作出函數y=f（x）與y=g（x）=

1

x

的圖象如圖：
當x＜0時，y=f（x）單調遞增，y=

1

x

為減函數，此時函數f（x）與y=g（x）=

1

x

只有一個交點．
∵f（1）=1，g（1）=1，∴f（1）=g（1），此時x=1是函數的一個零點．
∵f（3）=

1

2

f(1)=

1

2

，g（3）=

1

3

，滿足f（3）＞g（3），∴此時在（2，4）內有兩個交點．
∵f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

，g（5）=

1

5

，滿足f（5）＞g（5），∴此時在（4，6）內有兩個交點，
∵f（7）=

1

2

f（5）=

1

8

，g（7）=

1

7

，滿足f（7）＜g（7），∴此時在（6，8）內沒有交點，
∵f（9）=

1

2

f(7)=

1

16

，g（9）=

1

9

，滿足f（9）＜g（9），∴此時在（8，10）內有沒有交點，
即當n＞7時，恒有f（x）＜g（x），此時，兩個函數沒有交點．
綜上兩個函數的交點個數為6個．
即函數F（x）=xf（x）-1的零點的個數為6個．
故答案為：6．

點評：本題主要考查函數零點的判定定理，將求函數零點的問題轉化為求兩個函數圖象交點的問題是解答本題的關鍵．