【題目】已知雙曲線M： 
=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，B為虛軸的端點，離心率e= 
，且S△ABF=1﹣ 
．拋物線N的頂點在坐標原點，焦點為F．
（1）求雙曲線M和拋物線N的方程；
（2）設動直線l與拋物線N相切于點P，與拋物線的準線相交于點Q，則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點？如果經過，試求出該點的坐標，如果不經過，試說明理由．
【答案】
（1）
解：由雙曲線M： 
=1（a＞0，b＞0）的離心率e= 
= 
，①
三角形的面積S= 
（c﹣a）b=1﹣ 
，②
由c2=a2+b2，③
解得：a= 
，b=1，c=2，
∴雙曲線的標準方程： 
，則雙曲線的上焦點F（0，2），
則拋物線N的方程：x2=8y；
（2）
解：由（1）可得拋物線N的方程：x2=8y，準線方程y=﹣2，
由y= 
x2，y′= 
x，設P（x0， x02），則直線l的方程y﹣ x02= x0（x﹣x0），
即y= x0x﹣ x02，聯立y=﹣2，則Q（ 
，﹣2），
假設存在定點M（0，m）滿足假設條件，則 
=0，對任意點恒成立，
則 =（x0， x02﹣m）， =（ ，﹣2﹣m），
∴ 
﹣（m+2）（ x02﹣m）=0，即 
x02+m（m+2）﹣8=0，對任意實數x0（x0≠0）恒成立，
，解得：m=2，
∴以PQ為直徑的圓經過y軸上的定點M（0，2）．
【解析】（1）根據雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的方程，求得焦點坐標，即可求得p的值，求得拋物線N的方程；（2）利用導數求得切線方程，聯立y=﹣2，即可求得Q點坐標，根據向量數量積的坐標，由 x02+m（m+2）﹣8=0，對任意實數x0（x0≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點．
天天向上口算本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】農科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況，從甲、乙兩種麥苗的試驗田中各抽取6株麥苗測量麥苗的株高，數據如下：(單位：cm)
甲：9,10,11,12,10,20
乙：8,14,13,10,12,21.
(1)在給出的方框內繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖；
(2)分別計算所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的平均數與方差，并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4-5：不等式選講]已知函數f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）設函數g（x）=|2x﹣1|，當x∈R時，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（選修4﹣5：不等式選講）
已知函數f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）當a=﹣2時，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）設a＞﹣1，且當 
時，f（x）≤g（x），求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=lnx+ax在點（t，f（t））處的切線方程為y=3x+1
（1）求a的值；
（2）已知k≤2，當x＞1時，f（x）＞k（1﹣ 
）+2x﹣1恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）對于在（0，1）中的任意一個常數b，是否存在正數x0 ， 使得e 
+ 
x02＜1？請說明理由．
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