Question

如圖是一個二次函數y=f（x）的圖象
（1）寫出這個二次函數的零點，并求這個二次函數的解析式；
（2）設函數g(x)=

f(x)+2x

x

，判斷函數g（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）的圖象得出零點，求出解析式；
（2）用單調性定義證明g（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

解答：解：（1）由圖象知，y=f（x）的圖象與x軸交點為（-3，0），（1，0），
∴y=f（x）的零點是x=-3和x=1；
設y=f（x）=a（x+3）（x-1），圖象過點（-1，4），
∴a（-1+3）（-1-1）=4，
解得a=-1，
∴y=f（x）=-（x+3）（x-1）=-x²-2x+3；
（2）g（x）在區間（0，+∞）上是減函數，證明：
∵f（x）=-x²-2x+3；
∴g(x)=

f(x)+2x

x

=

-x2-2x+3+2x

x

=-x+

2

x

，
在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則g（x₁）-g（x₂）=（-x₁+

2

x1

）-（-x₂+

2

x2

）=（x₂-x₁）+

2(x2-x1)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2+2)

x1x2

；
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴g（x）在區間（0，+∞）上是減函數．

點評：本題考查了利用函數的圖象求解析式以及函數單調性的判定問題，是基礎題．