Question

已知函數f（x）是一次函數，且f（8）=15，f（2），f（5），f（14）成等比數列，設a_n=f（n），（ n∈N•）
（1）求數列{a_n}的前n項和T_n；
（2）設bn=2n，求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15，8a+b=15；由f（2），f（5），f（14）成等比數列可得f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）．聯立即可解得a，b，可得f（x）=2x-1．即可得到a_n，再利用等差數列的前n項和公式即可得到T_n．
（2）利用“錯位相減法”即可得出．

解答：解：（1）設f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15，8a+b=15，----------①，
由f（2），f（5），f（14）成等比數列可得
f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）⇒3a²+6ab=0，
∵a≠0∴a=-2b------②
由①②得a=2，b=-1，
∴f（x）=2x-1．
∴a_n=2n-1，
因此數列{a_n}是首項a₁=1，公差d=2的等差數列．
∴T_n=a1+a2+…+an=

n(1+2n-1)

2

=n2．
（2）∵anbn=(2n-1)•2n
∴S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2S_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．