Question

已知函數f（x）=e^x+ax+b．
（Ⅰ）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（Ⅱ）當a=-e²時，若f（x）在R上有2個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數f（x）得到其定義域，由于其導數大于0時在定義域內恒成立，即可判斷f（x）在定義域內的單調性；
（Ⅱ）利用函數在定義域內的單調性和最值研究零點的個數，對f（x）求導，找到單調區間，確定最小值，要使函數f（x）在R上有2個零點，則只需f(x)最小=-e2+b＜0，即可得到b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+ax+b可知，函數的定義域為R
又f'（x）=e^x+a，所以當a＞0時，e^x+a＞0
從而f'（x）=e^x+a＞0在定義域內恒成立．
所以，當a＞0時，函數f（x）=e^x+ax+b在定義域內為增函數．
（Ⅱ）當a=-e²時，f（x）=e^x-e²x+b
所以f'（x）=e^x-e²，由f'（x）＞0可得e^x-e²＞0解得x＞2
由f'（x）＜0可得e^x-e²＜0解得x＜2，所以f（x）在區間（-∞，2]上為減函數
在區間（2，+∞）上為增函數，所以函數f（x）在R上有唯一的極小值點x=2
也是函數的最小值點，所以函數的最小值為f(x)最小=f(2)=e2-2e2+b=-e2+b
要使函數f（x）在R上有2個零點，則只需f(x)最小=-e2+b＜0，即b＜e²
所以實數b的取值范圍為（-∞，e²）

點評：利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．