Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）最大值為0，求k的值；
（Ⅱ）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

an；
（i）求證：

n

i=1

ai＜2；（ii）是否存在n使得a_n∉（0，1]，做不存在，請給予證明．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,數列遞推式

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=

1

1+x

-k，x∈（-1，+∞），由導數討論函數的單調性，從而求最值；
（Ⅱ）（i）由ln（x+1）≤x可推出a_n+1≤

1

2

a_n，從而可得a_n≤

1

2

a_n-1≤

1

22

a_n-2≤…≤

1

2n-1

a₁=

1

2n-1

，進而可證明

n

i=1

ai＜2；
（ii）用數學歸納法證明0＜a_n≤1對任意正整數成立．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

1+x

-k，x∈（-1，+∞）
①當k≤0，無最值，舍去；
②k＞0，f_max（x）=f（

1

k

-1）=0，
解得，k=1．
（Ⅱ）i．證明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，
即ln（x+1）≤x，
∴ln（1+a_n）≤a_n，
∴a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

an≤a_n-

1

2

an；
∴a_n+1≤

1

2

a_n，
∴a_n≤

1

2

a_n-1≤

1

22

a_n-2≤…≤

1

2n-1

a₁=

1

2n-1

，
∴

n

i=1

ai=a1+a2+…+an≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-21-n＜2
ii．不存在，由（i）an≤(

1

2

)n-1＜1，
下面用數學歸納法證明a_n＞0對任意正整數成立，
①當n=1，a₁=1＞0；②假設當n=k時假設成立，即a_k＞0
令h(x)=ln(x+1)-

x

2

，
則h′(x)=

1-x

2(x+1)

，
故h（x）在（-1，1）單調遞增，
∵0＜a_k≤1，
∴a_k+1=h（a_k）＞h（0）=0，
∴當n=k+1，a_n＞0，
∴a_n＞0，
∴對任意正整數a_n＞0恒成立即不存在n∈N^*，使a_n∉（0，1]．

點評：本題主要考查導數研究函數最值、單調性、數列的遞推公式、數列求和、放縮法證明不等式、數學歸納法等基礎知識，考查推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想、特殊與一般思想及分類與整合思想．