Question

設直線2x-y+1=0與橢圓

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B兩點．
（1）線段AB中點M的坐標及線段AB的長；
（2）已知橢圓具有性質：設A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．試對雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

2x-y+1=0 x2 3 + y2 4 =1

?

4

3

x2+x-

3

4

=0?

x1+x2=- 3 4 x1x2=- 9 16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）設A、B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．
證明：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分別代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相減后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
設M（x₀，y₀），則

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值為

b2

a2