Question

（2004•寶山區一模）設直線2x-y+1=0與橢圓

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B兩點．
（1）線段AB中點M的坐標及線段AB的長；
（2）已知橢圓具有性質：設A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．試對雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）欲求線段AB中點M的坐標，只需求出A，B橫坐標之和，縱坐標之和，再用中點坐標公式計算即可．把直線2x-y+1=0代入橢圓

x2

3

+

y2

4

=1中，利用韋達定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，可得M點坐標．再用弦長公式，可求線段AB的長
（2）涉及中點弦問題，也可使用點差法解決，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點原點連線斜率之間的關系

解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

2x-y+1=0 x2 3 + y2 4 =1

⇒

4

3

x2+x-

3

4

=0⇒

x1+x2=- 3 4 x1x2=- 9 16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）設A、B是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意兩點，M是線段AB的中點，若直線AB、OM的斜率都存在，并記為k_AB，k_OM，則k_AB?k_OM為定值．
證明：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分別代入雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相減后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
設M（x₀，y₀），則

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值為

b2

a2

點評：本題考查了直線與雙曲線的位置關系，特別是當直線與曲線相交并且與弦的中點有關時，可以使用聯立方程組的辦法，也可采用點差法，但要認證體會兩種方法的局限性