Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BC⊥平面PBD；
（3）若直線PB與底面ABCD所成角為45°，求線段PD的長（此問只需寫出答案，無需寫過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線定理EF∥CD且，由平行四邊形的判定可得平行四邊形ABEF，由性質定理可得BE∥AF，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）取CD中點M，連結BM，則四邊形ABMD為正方形，可得BD，BC的長，利用勾股定理的逆定理即可判斷BC⊥BD，再利用線面垂直的性質定理即可得出PD⊥BC，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用線面角的定義及等腰直角三角形的性質即可得出．
解答：解：（1）取PD的中點F，連結EF，AF，
∵E為PC中點，∴EF∥CD，且，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中點M，連結BM，可知△BMC為直角三角形且BM=MC=1，∴，
在△ABD中，可知，∴CD²=BD²+BC²，∴BC⊥BD．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴∠PBD是斜線PB與平面ABCD所成的線面角．
可知∠PBD=45°，由（2）可知：BD=．
∴PD=BD=．
點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理、正方形的判定與性質、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理和性質定理、線面角的定義及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．