Question

【題目】已知橢圓的焦點坐標為，且短軸一頂點滿足．

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓交于不同的兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當直線，內切圓面積的最大值為

【解析】

試題分析：（1）設橢圓方程，由焦點坐標可得，由

可得，又，由此可求橢圓方程；

（2）設，不妨，設的內切圓的半徑為，則的周長為8，，因此最大，就最大．設直線的方程為，與橢圓方程聯立，從而可表示的面積，利用換元法，借助于導數，即可求得結論

試題解析：（1）由題，設橢圓方程，不妨設，則，∴，故橢圓方程為．

（2）設，不妨設，設的內切圓半徑為，則的周長為8，面積，因此最大，就最大，由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，由得，則，

令，則，則，令，則，當時，，在上單調遞增，故有，即當時，，，這時所求內切圓面積的最大值為．

故直線，內切圓面積的最大值為．