Question

【題目】如圖，已知直線和直線，射線的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，點(diǎn)、分別是直線、上的動(dòng)點(diǎn)，直線和之間的距離為2，于點(diǎn)，于點(diǎn)；

（1）若，求的值；

（2）若，求的最大值；

（3）若，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先由得到射線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，，由勾股定理求出，，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，得到，設(shè)、，得到，，由，結(jié)合柯西不等式得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；

（3）先由題意，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，得到，設(shè)，

得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>，所以，所以射線的方程為：；

所以，，所以；

又直線，所以，所以，

因此；

（2）因?yàn)?/span>，直線和之間的距離為2，所以，即；

設(shè)、，因?yàn)?/span>，

則，，

所以，

又，所以，

因?yàn)?/span>，

所以，

故的最大值為；

（3）因?yàn)?/span>，所以，，如圖所示：

作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，

設(shè)，

所以，

同理，可由對(duì)稱(chēng)性得：當(dāng)且僅當(dāng)為時(shí)，取得最小值，

因此的最小值為.