Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣axlnx．

（1）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；

（2）證明：對于a∈（0，e），函數f（x）在區間（）上單調遞增．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義：切線斜率k=f′（1）,切點（1，f(1)）,由點斜式可得切線方程；

（2）求導，通過研究導函數的符號證明函數的單調性即可．

（1）當a=1時，f（x）=ex﹣xlnx（x＞0）

∴f′（x）=ex﹣lnx﹣1，

∴f′（1）=e﹣1，

又∵f（1）=e，

∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為y﹣e=（e﹣1），即y=（e﹣1）x+1

（2）∵f（x）=ex﹣axlnx，a∈（0，e），x∈（，1），

∴f′（x）=ex﹣a（1+lnx），

①當1+lnx≤0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（，1）上單調遞增；

②當1+lnx＞0即1≤a＜e時，令g（x）=，

∴g′（x）==，

令h（x）=lnx﹣+1，x∈（，1），

顯然h（x）在（，1）上單調遞增，且h（1）=0，

∴h（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，∴g′（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，

故g（x）在（，1）上單調遞減，

又g（1）=e，∴g（x）＞g（1）=e在x∈（，1）上恒成立，

又1≤a＜e，∴a＜g（x）=，

∴ex﹣a（1+lnx）＞0，

所以f（x）在區間（，1）上單調遞增．

綜上可知，對a∈（0，e），函數f（x）在區間（，1）上單調遞增．