Question

已知點F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF₂為正三角形，則該橢圓的離心率e是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先求出 AF₁ 的長，直角三角形AF₁F₂ 中，由邊角關系得 tan30°=

AF1

F1F2

=

b2 a

2c

，建立關于離心率的方程，
解方程求出離心率的值．

解答：解：把x=-c代入橢圓的方程可得y=

b2

a

，
∴AF₁ =

b2

a

，
由tan30°=

3

3

=

AF1

F1F2

=

b2 a

2c

=

a2-c2

2ac

=

1-e2

2e

，
求得 3e²+2

3

e-3=0，
解得 e=-

3

（舍去），或e=

3

3

，
故選D．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，直角三角形中的邊角關系，解方程求離心率的大小，屬于中檔題．