Question

已知奇函數f(x)是定義在R上的增函數,數列{x_n}是一個公差為2的等差數列,且滿足f(x₈)+f(x₉)+f(x₁₀)+f(x₁₁)=0,則x₂₀₁₂的值為　　　　.

Answer 1

4005

設x₈=a,則x₉=a+2,x₁₀=a+4,x₁₁=a+6,
所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)<f(a+2)<f(a+4)<f(a+6),
所以f(a)<0且f(a+6)>0.
結合奇函數關于原點的對稱性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,
所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x₈=-3.
設數列{x_n}通項x_n=x₁+2(n-1),所以x₈=x₁+14=-3,所以x₁=-17.
故通項x_n=2n-19.所以x₂₀₁₂=2×2012-19=4005.