Question

已知是等差數列，首項，前項和為.令,的前項和.數列是公比為的等比數列，前項和為，且，.
（1）求數列、的通項公式；
（2）證明：.

Answer 1

(1) ，；(2)見解析.

試題分析：(1)首先設等差數列的公差為，由已知建立的方程，求得，寫出等差數列的通項公式；進一步確定等比數列的公比，求得等比數列的通項公式.
(2)求得，將不等式加以轉化成，
即證：.注意到這是與自然數有關的不等式證明問題，故考慮應用數學歸納法.
很明顯時，，因此用數學歸納法證明：當時，.
試題解析：(1)設等差數列的公差為，因為
所以
則
則
解得，所以                    4分
所以，
所以                              6分
(2)由(1)知，
要證，
只需證
即證：                             8分
當時，
下面用數學歸納法證明：當時，
（1）當時，左邊，右邊，左右，不等式成立
（2）假設，
則時，
時不等式成立
根據（1）（2）可知：當時，
綜上可知：對于成立
所以                      12分