Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為直角梯形，BC//AD，且AD=2AB=2BC=2，∠BAD=90°，△PAD為等邊三角形，平面ABCD⊥平面PAD；點E、M分別為PD、PC的中點.

（1）證明：CE//平面PAB；

（2）求三棱錐M﹣BAD的體積；

（3）求直線DM與平面ABM所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1）設的中點為，連接，利用三角形的中位線證得，而，由此證得，由此證得四邊形是平行四邊形，進而證得，從而證得平面.

（2）根據等邊三角形的性質，結合面面垂直的性質定理，求得到平面的距離，而是的中點，故到平面的距離是到平面的距離的一半.由此求得到平面的距離，進而求得三棱錐的體積.

（3）建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值.

（1）證明：設PA的中點為N，連結EN，BN，

∵E為PD中點，∴EN為△PAD的中位線，

∴EN//AD，且ENAD，

在梯形ABCD中，BC//AD，且BCAD，

∴BC//EN，且BC=EN，∴四邊形ENBC是平行四邊形，∴CE//BN，

∵BN平面PAB，CE平面PAB，∴CE//平面PAB.

（2）解：∵四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，且AD=2AB=2BC=2，∠BAD=90°，

∴1，

∵△PAD為等邊三角形，平面ABCD⊥平面PAD，點M是PC的中點.

設AD的中點為O，則PA=PD，∴PO⊥AD，

∴M到平面ABD的距離d，

∴三棱錐M﹣BAD的體積V.

（3）∵平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，PO平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

又∵CO//BA，∠BAD=90°，∴CO⊥AD，

∴OA，OC，OP，OC兩兩垂直，

以O為原點，OA，OC，OP，OC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（1，0，0），B（1，0，1），M（0，，），D（﹣1，0，0），

（0，0，1），（﹣1，，），

設平面ABM的法向量（x，y，z），

則，取x，得（），（1，，），

cos，

∴直線DM與平面ABM所成角的正弦值為.