Question

已知點O為坐標原點，⊙C過點（1，1）和點（-2，4），且圓心在y軸上．
（1）求⊙C的標準方程；
（2）若過點P（1，0）的直線l與⊙C有公共點，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于圓心在y軸上，可設⊙C的標準方程為x²+（y-b）²=r²．由于⊙C過點（1，1）和點（-2，4），代入可得

1+(1-b)2=r2 (-2)2+(4-b)2=r2

，解出即可；
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），由于過點P（1，0）的直線l與⊙C有公共點，可得圓心C到直線的距離d≤r．利用點到直線的距離公式求出d，解出即可．

解答：解：（1）∵圓心在y軸上，∴可設⊙C的標準方程為x²+（y-b）²=r²．
∵⊙C過點（1，1）和點（-2，4），∴

1+(1-b)2=r2 (-2)2+(4-b)2=r2

，
解得

b=3 r2=5

．
∴⊙C的標準方程為x²+（y-3）²=5．
（2）設直線l的方程為y=k（x-1），
∵過點P（1，0）的直線l與⊙C有公共點，
∴圓心C到直線的距離d≤r．
∴

|-3-k|

1+k2

≤

5

，化為2k²-3k-2≥0，
解得k≥2或k≤-

1

2

．
故直線l斜率的取值范圍是(-∞，-

1

2

]∪[2，+∞)．

點評：本題考查了圓的標準方程及其性質、直線與圓的位置關系轉化為圓心到直線的距離與半徑的關系、點到直線的距離公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．