Question

已知點O為坐標原點，圓C過點（1，1）和點（-2，4），且圓心在y軸上．
（1）求圓C的標準方程；
（2）如果過點P（1，0）的直線l與圓C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）如果過點P（1，0）的直線l與圓C交于A、B兩點，且|AB|=2

3

，試求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意設圓心C（0，c），利用兩點間的距離公式列出關于c的方程，確定出圓心C坐標，進而確定出半徑r，寫出圓C方程即可；
（2）表示出直線l方程，根據直線l與圓有公共點，得到圓心到直線的距離d小于等于半徑，即可求出k的范圍；
（3）表示出直線l方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，根據已知的弦長與半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l方程．

解答：解：（1）設圓心C（0，c），
根據題意得：

12+(1-c)2

=

(-2)2+(4-c)2

，
解得：c=3，即C（0，3），
半徑r=

12+(1-3)2

=

5

，
則圓C方程為x²+（y-3）²=5；
（2）直線l方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由題意得：圓心C到直線l的距離d≤r，即

|-3-k|

k2+1

≤

5

，
解得：k≤-

1

2

或k≥2；
（3）直線l方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵圓心C到直線l的距離d=

|-3-k|

k2+1

，|AB|=2

3

，r=

5

，
∴2

3

=2

r2-d2

=2

5- (k+3)2 k2+1

，
解得：k=7或k=-1，
則直線l方程為7x-y-7=0或x+y-1=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質，弄清題意是解本題的關鍵．