Question

已知sinx+siny=

1

3

，cosx-cosy=

1

5

，求cos（x+y），cos（x-y），sin（x-y）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值

分析：將條件進行平方，然后相加，即可得到cos（x+y）的值．利用三角函數的和差化積公式即可求cos（x-y），sin（x-y）．

解答： 解：∵sinx+siny=

1

3

，cosx-cosy=

1

5

，
∴兩式平方得sin?2x+2sin?xsin?y+sin?2y=

1

9

  ①，
cos?2x-2cos?xcos?y+cos?2y=

1

25

   ②，
①+②得2+2(sin?xsin?y-cos?xcos?y)=

1

9

+

1

25

=

34

225

，
即2-2cos（x+y）=

34

225

，
即cos（x+y）=1-

17

225

=

208

225

．
∵sinx+siny=2sin

x+y

2

cos

x-y

2

=

1

3

，③
cosx-cosy=-2sin

x+y

2

sin

x-y

2

=

1

5

，④，
④÷③得

sin x-y 2

cos x-y 2

=-

3

5

，
即sin

x-y

2

=-

3

5

cos

x-y

2

，
平方得sin²

x-y

2

=

9

25

cos²

x-y

2

，
即sin²

x-y

2

+cosα²

x-y

2

=

9

25

cos²

x-y

2

+cos²

x-y

2

，
即

34

25

cos²

x-y

2

=1，
則cos²

x-y

2

=

25

34

，
則cos（x-y）=2cos²

x-y

2

-1=2×

25

34

-1=

8

17

．
則sin（x-y）=±

1-cos2(x-y)

=±

1-( 8 17 )2

=±

15

17

．

點評：本題主要考查兩角和的余弦公式的計算，要求熟練掌握兩角和的公式，考查學生的計算能力．