Question

已知函數f（x）=x²-

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ax³，g（x）=me^x-x-1，曲線y=g（x）在x=0處取得極值．
（1）求m的值；
（2）若a≤0，試討論y=f（x）的單調性；
（3）當a=

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2

，x＞0時，求證：g（x）-x³＞f（x）-

1

2

x²．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（1）由題意求導g′（x）=me^x-1，從而得到g′（0）=me⁰-1=0，從而解得．
（2）先求函數f（x）=x²-

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ax³的定義域，求導f′（x）=2x-2ax²=2x（-ax+1）；從而判斷函數的單調性；
（3）當a=

3

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時，f（x）=x²-x³，令h（x）=g（x）-x³-[f（x）-

1

2

x²]=e^x-

1

2

x²-x-1，（x＞0）；從而求導證明．

解答： 解：（1）∵g（x）=me^x-x-1，∴g′（x）=me^x-1，
又∵曲線y=g（x）在x=0處取得極值，
∴g′（0）=me⁰-1=0，
解得，m=1；
（2）函數f（x）=x²-

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ax³的定義域為R，
f′（x）=2x-2ax²=2x（-ax+1）；
當a=0時，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，
故y=f（x）的增區間為（0，+∞），減區間為（-∞，0）；
當a＜0時，由f′（x）＞0得x＞0或x＜

1

a

，由f′（x）＜0得

1

a

＜x＜0；
故y=f（x）的增區間為（-∞，

1

a

），（0，+∞），減區間為（

1

a

，0）；
（3）證明：當a=

3

2

時，f（x）=x²-x³，
令h（x）=g（x）-x³-[f（x）-

1

2

x²]
=e^x-

1

2

x²-x-1，（x＞0）；
h′（x）=e^x-x-1，＞0，易知h（x）在（0，+∞）內單調遞增，
h（x）＞h（0）=0，
即g（x）-x³＞f（x）-

1

2

x²．

點評：本題考查了導數的綜合應用，屬于中檔題．