Question

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，，，以，為鄰邊作平行四邊形，連接和.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點，使平面與平面垂直？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）平面；（2）；（3）線段上不存在點，使平面與平面垂直.

【解析】

試題（1）要證明線面平行，需要在平面中找出一條直線平行于.連結，三棱柱中且，由平行四邊形得且,

且,四邊形為平行四邊形，, 平，平面, 平面.（2）建立空間直角坐標系，設平面的法向量為，利用即，令，則， ，，直線與平面所成角的正弦值為. （3）設，，則，設平面的法向量為，利用垂直關系， 即，令，則，，所以，因為平面的法向量為，假設平面與平面垂直，則，解得，

線段上不存在點，使平面與平面垂直.

試題解析：（1）連結，三棱柱中且，

由平行四邊形得且

且1分

四邊形為平行四邊形，2分

平，平面3分

平面4分

（2）由，四邊形為平行四邊形得，底面

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，，

，， 1分

，，

設平面的法向量為，則

即，令，則，

3分

直線與平面所成角的正弦值為. 5分

（3）設，，則1分

設平面的法向量為，則

， 即

令，則，，所以3分

由（2）知：平面的法向量為

假設平面與平面垂直，則，解得，

線段上不存在點，使平面與平面垂直.

5分