Question

已知三棱錐D-ABC各棱長都相等（也稱正四面體），E、F分別是BC、AD上的點．
（1）求證：直線AC與BD所成的角為90°；
（2）若E是BC的中點，求直線AE與BD所成角的余弦值；
（3）若AF：FD=CE：EB=3：2，設EF與AC、BD所成的角分別為α、β，求證：α+β=90°．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱錐的結構特征,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取AC中點O，連接OD，OB，OD⊥AC，OB⊥AC，得出AC⊥面OBD，即可得證，
（2）根據向量運算

AE

•

BD

=

AE

•（

AD

-

AB

）=

3

2

a×a×

3

3

-

3

2

a×a×

3

2

=-

a2

4

，
得出cos＜

AE

，

BD

＞=

- a2 4

3 2 a×a

=-

3

6

，再用直線與直線的夾角求解．
（3）設棱長為5，作FM∥BD，連接ME，令FM=3，ME=2，運用向量得出EF=

13

，
運用勾股定理判斷．

解答： 證明：（1）取AC中點O，連接OD，OB，
∵三棱錐D-ABC各棱長都相等（也稱正四面體），E、F分別是BC、AD上的點．
∴OD⊥AC，OB⊥AC，
∵OB∩OD，
∴AC⊥面OBD，
∵DB?面OBD，
∴AC⊥BD，
即直線AC與BD所成的角為90，
（2）設棱長為a，
∴AE=

3

2

a，AD=a，AF=

a

2

，

BD

=

AD

-

AB

，
∴

AE

•

BD

=

AE

•（

AD

-

AB

）=

3

2

a×a×

3

3

-

3

2

a×a×

3

2

=-

a2

4

，
∴cos＜

AE

，

BD

＞=

- a2 4

3 2 a×a

=-

3

6

，
∴直線AE與BD所成角的余弦值為

3

6

．
（3）設棱長為5，作FM∥BD，連接ME，
∴α=∠FEM，β=∠EFM
∵AF：FD=CE：EB=3：2，

∴AF=3，FD=2，BE=2，EC=3，ME∥AC，
∴

MF

BD

═

3

5

，

ME

AC

=

2

5

，
∴FM=3，ME=2，
∵

FE

=

AE

-

AF

=

AB

+

BE

-

AF

，
∴（

FE

）²=（

AB

+

BE

-

AF

）²=

AF

²+

AB

²+

BE

²+2

AB

•

BE

-2

AB

•

AF

-2

BE

•

AF

=9+25+4+2×5×2×(-

1

2

)-2×5×3×

1

2

-0=13，
∴EF=

13

，
∴△EFM中，FM=3，ME=2，EF=

13

，
∴EF²=FM²+ME²，
∴∠FME=

π

2

，
∠FEM+∠EFM=

π

2

∴α+β=90°

點評：本題綜合考查了運用向量的數量積，求解長度，夾角．解決空間直線的位置關系，屬于中檔題．