Question

設(shè)，且，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
（1）證明：當(dāng)，時(shí)，；
（2）記，求的值．

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析；(2)

解析試題分析：（1）從題設(shè)可以看出本題要分類(lèi)，按的奇偶性來(lái)分類(lèi)，如當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，都是偶數(shù)，，，，
通過(guò)計(jì)算，應(yīng)用公式可得結(jié)論，當(dāng)然為偶數(shù)時(shí)也同樣證明；（2）待求式子比較難，，
把的系數(shù)變?yōu)?，有

由公式，上式可變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/e/1oo3c2.png" style="vertical-align:middle;" />
，而由（1）可得數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，故，從而計(jì)算得.
試題解析：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為偶數(shù)，
∵，，
，
∴
=．
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，成立．       5分
同理可證，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，也成立．       6分
（2）由，得

=
=
=．       9分
又由，得，所以，．    10分
考點(diǎn)：組合數(shù)的性質(zhì)，周期數(shù)列