Question

設函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）圖象關于原點對稱，知對任意實數x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）中函數解析式，求出函數的導函數，是否存在x₁，x₂∈[-1，1]，使f'（x₁）•f'（x₂）═-1，進而得到結論．
解答：解． （1）∵函數f（x）圖象關于原點對稱，
∴對任意實數x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立
∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時，f（x）取極小值，
∴3a+c=0且a+c=，
解得a=，c=-1，
∴f（x）=x3-x．
（2）由（1）得f'（x）=x²-1，
當x∈[-1，1]時，f'（x）∈[-1，0]
當且僅當x=0時，f'（x）=-1
故?x₁，x₂∈[-1，0]
f'（x₁）•f'（x₂）≥0恒成立，
即f'（x₁）•f'（x₂）≠-1恒成立，
故當x∈[-1，1]時，圖象上不存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數研究函數曲線上某點的切線方程，其中熟練掌握導數法求函數極值和切線斜率的方法是解答的關鍵．