Question

（2009•閘北區二模）在△ABC中，設a、b、c分別是∠A、∠B、∠C所對的邊長，且滿足條件c=2，b=2a，則△ABC面積的最大值為（　　）

• A．1
• B．

  3

  2

• C．

  4

  3

• D．2

Answer 1

分析：先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面積公式可知S=a²sinC=a²

1-cos2C

，然后化簡變形求出S的最大值，注意取最大值時a的值．

解答：解：由公式 c²=a²+b²-2abcosC 和b=2a c=2得
4=a²+4a²-4a²cosC
可推出 cosC=

5a2-4

4a2

=

5

4

-

1

a2

又由公式 S面積=

1

2

absinC 和b=2a 得
S=a²sinC=a²

1-cos2C

=

(a2)2-(a2)2cos2C

=

-9(a2- 20 9 ) 2 16 + 16 9

當a²=

20

9

時，S面積取最大值
S面積最大值=

4

3

此時a=

2 5

3

又 三角形三邊 a+b＞c，b-a＜c
所以得 2＞a＞

2

3

所以a=

2 5

3

滿足要求
所以S面積最大值=

4

3

．
故選C．

點評：本題主要考查了三角形中的幾何計算，同時考查了余弦定理和二次函數的最值等有關基礎知識，屬于中檔題．