Question

如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；
（II）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.

Answer 1

（1）
（2）

解析試題分析：解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，
G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。
于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D 的平面角。
由， ，得，
由，得

（向量法）以A為坐標原點，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）
設平面ABF的法向量，則由得
令，得，
同理，可求得平面ADF的法向量。
由知，平面ABF與平面ADF垂直，
二面角B-AF-D的大小等于。
（II）連EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。
過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。
因為EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而
由得。
又因為
故四棱錐H-ABCD的體積
考點：二面角以及體積
點評：主要是考查了二面角的平面角以及體積的計算。屬于基礎題。