Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，點M在線段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．
（1）求證：M為PB的中點；
（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，設AC∩BD=O，

∵ABCD為正方形，∴O為BD的中點，連接OM，

∵PD∥平面MAC，PD平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，

∴PD∥OM，則 ，即M為PB的中點

（2）解：取AD中點G，

∵PA=PD，∴PG⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，

由G是AD的中點，O是AC的中點，可得OG∥DC，則OG⊥AD．

以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，

由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），

， ．

設平面PBD的一個法向量為 ，

則由 ，得 ，取z= ，得 ．

取平面PAD的一個法向量為 ．

∴cos＜ ＞= = ．

∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°

（3）解： ，平面PAD的一個法向量為 ．

∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos＜ ＞|=| |=| |=

【解析】（1）設AC∩BD=O，則O為BD的中點，連接OM，利用線面平行的性質證明OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點；（2）取AD中點G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性質可得PG⊥平面ABCD，則PG⊥AD，連接OG，則PG⊥OG，再證明OG⊥AD．以G為坐標原點，分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，求出平面PBD與平面PAD的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出 的坐標，由 與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．