Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點，為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點為，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）圓是以為直徑的圓，直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點，，當，且滿足時，求的面積的取值范圍．

請考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為，所以是線段的中點，所以是的中位線，

又所以，所以，（2分）

又點在橢圓上，所以 ①，

又 ②，①②聯立解得，，

所以所求橢圓的標準方程為．（4分）

（2）因為直線與圓相切，所以，即，

聯立，消去，可得．（6分）

設，，因為直線與橢圓交于不同的兩點，，所以，

即，即，故．

由根與系數的關系可得，，

所以，（8分）

又，所以，

因為，所以，解得，

所以．（10分）

設，則，，

顯然關于的函數在定義域內單調遞增，

所以，即．

故的面積的取值范圍為．（12分）