Question

（2010•宿松縣三模）已知函數f（x）=log_a+2[ax²+（a+2）x+a+2]有最值，則a的取值范圍是（　　）

• A．(-2，-1)∪(-1，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• B．(-2，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• C．(-2，

  2

  3

  )∪(

  2

  3

  ，2)∪(2，+∞)
• D．（-2，+∞）

Answer 1

分析：令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，轉化為u（x）在定義域上能取得最值，結合二次函數圖象與性質求解．

解答：解：由已知，須a+2＞0，且a+2≠1．即a＞-2，且a≠-1．
令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，原函數的定義域由u（x）＞0求得．
①當a＞0時，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的圖象為開口向上的拋物線，
若f（x）有最值，則u（x）圖象與x軸不相交，即須△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＜0，
解得a＞

2

3

或＜-2，
∴a＞

2

3

②當a=0時，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2=2x+2，原函數定義域為（1，+∞），在（1，+∞）上u（x）不存在最值．從而f（x）無最值．
③當-2＜a＜0，且a≠-1時，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的圖象為開口向下的拋物線，若f（x）有最值，則須u（x）圖象與x軸交于不同兩點．即須△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＞0，解得-2＜a＜

2

3

，∴-2＜a＜0，且a≠-1．
綜上所述a的取值范圍是a＞

2

3

，或-2＜a＜0且a≠-1．
故選A

點評：本題考查復合函數的性質，考查轉化、計算、數形結合的思想和能力．