Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓過點，直線交軸于，且， 為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓的上頂點，過點分別作直線交橢圓于兩點，設這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）將點代入橢圓方程得，由得，則，聯立方程得解；（2）分為直線斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率不存在時，直接代入得解；當斜率存在時，聯立直線和橢圓的方程得，結合韋達定理，運用整體代換的思想化簡得，可得其恒過定點.

試題解析：（1）∵橢圓過點，∴① ，

∵，∴，則，

∴②，由①②得，

∴橢圓的方程為

（2）當直線的斜率不存在時 ，設，則，由得，得

當直線的斜率存在時，設的方程為，

，

得，

，

即，

由，

即．

故直線過定點．