Question

給出以下五個命題：
①x，y∈R，若x²+y²=0，則x=0或y=0的否命題是假命題；
②函數y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2；
③若函數f（x）=x³+ax²+2的圖象關于點（1，0）對稱，則a的值為-3；
④若f（x+2）+

1

f(x)

=0，則函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；
⑤若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，則a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹其中真命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：對于①，寫出否命題進行判斷；對于②，根據最值是否能取到進行判定；對于③，利用f（1+x）+f（1-x）=0進行求解；對于④，根據f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x）可得周期，進行判定即可；對于⑤，根據賦值法求出所求進行判定即可．

解答：解：對于①，x，y∈R，若x²+y²=0，則x=0或y=0的否命題是若x²+y²≠0，則x，y全不為零，不正確，故是假命題，故①正確；
對于②，函數y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2此時3^x=1，此時x=0，但取不到，故②不正確；
對于③，函數f（x）=x³+ax²+2的圖象關于點（1，0）對稱，則f（1+x）+f（1-x）=0，解得a=-3，故③正確；
對于④，∵f（x+2）+

1

f(x)

=0，∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），故函數y=f（x）是以4為周期的周期函數，故④正確；
對于⑤，令x=0解得a₀=1，對等式兩邊取導數得10（1+x）⁹=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+10a₁₀x⁹，
令x=1得a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹，∴a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹+1，故不正確；
故答案為：①③④

點評：本題主要考查了命題的真假判斷，以及函數的周期性，對稱性和二項式定理的應用，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎題．