Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0）；
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸是x=-2，∵點A，B一定關于對稱軸對稱，
∴另一個交點為B（-3，0）．
（2）∵A，B的坐標分別是（-1，0），（-3，0），∴AB=2，
∵對稱軸為x=-2，∴CD=4；
設梯形的高是h．
∵S_梯形ABCD=×（2+4）h=9，
∴h=3，即|-t|=3，
∴t=±3，
當t=3時，把（-1，0）代入解析式得到a-4a+3=0，，解得a=1，
當t=-3時，把（-1，0）代入解析式得到a=-1，
∴a=1或a=-1，
∴解析式為y=x²+4x+3或y=-x²-4x-3；
（3）由題意得，E在y=-x上，且在x=-2右側，與拋物線y=x²+4x+3聯立可得x²+x+3=0，∴x=-6或x=-
∵E與點A在此拋物線對稱軸的同側，∴E（-，）．
A關于對稱軸的對稱點B（-3，0），連接B與E交對稱軸于點P，
∵BE的方程為，即，
∴x=-2時，y=，即P（-2，）．
y=-x與y=-x²-4x-3聯立可得x²+x+3=0，此方程無解
綜上知，拋物線的對稱軸上存在點P（-2，），使△APE的周長最小．
分析：（1）求得拋物線的對稱軸，利用點A，B一定關于對稱軸對稱，可得B的坐標；
（2）利用以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求得高，可得t的值，（-1，0）代入解析式，可得結論；
（3）由題意得，E在y=-x上，且在x=-2右側，分別與拋物線y=x²+4x+3聯立，確定E的坐標，利用對稱性，可使△APE的周長最小，從而可得結論．
點評：本題考查拋物線的對稱性，考查解析式的求解，考查利用對稱性解決最值問題，屬于中檔題．