Question

已知函數f(x)＝，x∈[－1,1]，函數g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在實數m、n同時滿足下列條件：

①m＞n＞3；

②當h(a)的定義域為[n，m]時，值域為[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）h(a)＝（2）不存在

【解析】(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝∈.設t＝，t∈，

則y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.

當a＜時，ymin＝h(a)＝φ＝；

當≤a≤3時，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；

當a＞3時，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.

∴h(a)＝

(2)假設滿足題意的m、n存在，∵m＞n＞3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是減函數．∵h(a)的定義域為[n，m]，值域為[n2，m2]，∴，由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但這與“m＞n＞3”矛盾，∴滿足題意的m、n不存在．