Question

已知函數f(x)＝ln x－.
(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內的單調性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求a的值；
(3)若f(x)<x²在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1) f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數.(2) a＝－.
(3)當a≥－1時，f(x)<x²在(1,＋∞)上恒成立.

本題重點考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是運用導數，確定函數的單調性，運用分離參數法求解恒成立問題
（I）先確定函數f（x）的定義域，再求導函數，從而可判定f（x）在定義域內的單調性；
（II）由（I）可知，f′（x）= ．再分類討論：a≥-1，f（x）在[1，e]上為增函數；a≤-e，f（x）在[1，e]上為減函數；e＜a＜-1，f（x）在（1，-a）上為減函數，f（x）在（-a，e）上為增函數，利用f（x）在[1，e]上的最小值為 ，可求a的值；
（III）先將不等式整理，再分離參數，構建新函數，利用單調性求出函數值的范圍，即可求出a的取值范圍．
解：(1)由題意f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數.
(2)由(1)可知，f ′(x)＝.
①若a≥－1，則x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數，
∴f(x)_min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).
②若a≤－e，則x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數，
∴f(x)_min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).
③若－e<a<－1，令f ′(x)＝0得x＝－a，
當1<x<－a時，f ′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數；
當－a<x<e時，f ′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數，
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.
綜上所述，a＝－.
(3)∵f(x)<x²，∴ln x－<x².
又x>0，∴a>xln x－x³.
令g(x)＝xln x－x³，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x²，
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1,＋∞)時，h′(x)<0，
∴h(x)在(1,＋∞)上是減函數.
∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，
∴g(x)在(1,＋∞)上也是減函數. g(x)<g(1)＝－1，
∴當a≥－1時，f(x)<x²在(1,＋∞)上恒成立.