Question

【題目】已知，函數(shù)，.

(1)若恒成立，求的取值范圍；

(2)證明：不論取何正值，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）總存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有.

【解析】【試題分析】（1）先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，則，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識探求其最大值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，從而將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值進(jìn)行分析探求：

解：(1)函數(shù)，的定義域均為.

因?yàn)?/span>，，所以可化為，

令，則，

由得，

所以，當(dāng)，；當(dāng)，，

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.

所以.

所以.

(2)(方法一)：，

令，得；令，得，∴，

當(dāng)，即時(shí)，顯然存在正數(shù)滿足題意，

當(dāng)時(shí)，

∵在上遞減，且，

∴必存在，.

故存在，使得當(dāng)時(shí)，.

(方法二)：，令，，

所以，當(dāng)，；當(dāng)，.

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，即時(shí)，存在，使得當(dāng)，恒有.

即.

當(dāng)時(shí)，由(1)知，即，

所以，

由得，所以，

因?yàn)?/span>，所以，根據(jù)函數(shù)的圖象可知存在，

使得當(dāng)，恒有，即.

綜上所述，總存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有.