Question

【題目】雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為 ，其中A（a，0），B（0，﹣b）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若B1是雙曲線虛軸在y軸正半軸上的端點，過B作直線與雙曲線交于M，N兩點，求B1M⊥B1N時，直線MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：雙曲線 =1（a＞0，b＞0）的焦點在x軸上，

離心率為e= =2，即c=2a，

由A（a，0），B（0，﹣b），

∴直線AB的方程為：bx﹣ay﹣ab=0，

由點到直線的距離公式可知：d= = ，

由a2+b2=c2，

代入解得：a= ，b=3，c=2 ，

∴雙曲線的標準方程為： ；

（2）解：由（1）可知：B1（0，3），B（0，﹣3）．

直線MN的斜率顯然存在，設MN的方程為：y=kx﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），

由 ，整理得：（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

△=36k2﹣4（﹣18）（3﹣k2）=﹣k2+6＞0，

解得：﹣ ＜k＜ ，

由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴y1y2=k2x1x2﹣3k（x1+x2）+9，y1+y2=k（x1+x2）﹣6，

∵ =（x1，y1﹣3）， =（x2，y2﹣3）

由B1M⊥B1N，

∴ =0，

∴x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=0，

x1x2+y1y2﹣3（y1+y2）+9=0，

∴（1+k2）x1x2﹣6k（x1+x2）+36=0，

將x1+x2= ，x1x2=﹣ ，代入整理得：k2=5，

解得：k=± ，滿足﹣ ＜k＜ ，

∴直線MN的方程為：y= x﹣3或y=﹣ ﹣3．

【解析】（1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，離心率為e= =2，即c=2a，由點（0，0）到直線bx﹣ay﹣ab=0的距離公式：d= = ，a2+b2=c2 ， 即可求得a和b的值，求得雙曲線的方程；（2）由題意設直線MN的方程為：y=kx﹣3，代入雙曲線方程，由△＞0，求得k的取值范圍，由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ， =（x1 ， y1﹣3）， =（x2 ， y2﹣3），由B1M⊥B1N，則 =0，由向量數量積的坐標表示即可求得k的值，求得直線MN的方程．