【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn．
（1）求證：數列{an}是等比數列；
（2）設bn=log2a2n+1，求數列{bn}的前n項和Tn．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）運用數列的遞推式和等比數列的定義，即可得證；
（2）運用等比數列的通項公式和等差數列的求和公式，計算即可得到所求和．
（1）證明：數列{an}的前n項和Sn滿足2an=2+Sn，
可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；
n≥2時，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，
相減可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，
即an=2an-1，可得數列{an}是首項、公比均為2的等比數列；
（2）由（1）可得an=2n，
bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，
數列{bn}的前n項和Tn=
（3+2n+1）n=n2+2n．
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【題目】已知拋物線
：
，點
為直線
上任一點，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為
，
，
（1）證明，，三點的縱坐標成等差數列；
（2）已知當點坐標為
時，
，求此時拋物線的方程；
（3）是否存在點，使得點
關于直線
的對稱點
在拋物線上，其中點滿足
，若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都是40%．現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有一次命中的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中，5，6 ,7 ,8 ,9 ,0表示不命中；再以每三個隨機數作為一組，代表三次投籃的結果．經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907, 966, 191, 925, 271, 932, 812，458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989．據此估計，該運動員三次投籃恰有一次命中的概率為 （ ）
A. 0．25 B. 0．2 C. 0．35 D. 0．4
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【題目】設橢圓C：
的兩個焦點是
和
，且橢圓C與圓
有公共點．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）若橢圓C上的點到焦點的最短距離為
，求橢圓C的方程；
（3）對（2）中的橢圓C，直線l：
與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點
，求實數m的取值范圍．
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【題目】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=
，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F為棱AC的中點，E在棱BC上，且BE=2EC．
（Ⅰ）求證：A1B∥平面EFC1；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的體積．
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【題目】將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中
， 
， 
，
，現將三角板
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰好在
上，如圖乙．
（1）求證： 
；
（2）求證： 
為線段
中點；
（3）求二面角
的大小的正弦值．
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【題目】越接近高考學生焦慮程度越強，四個高三學生中大約有一個有焦慮癥，經有關機構調查，得出距離高考周數與焦慮程度對應的正常值變化情況如下表周數
周數x | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1. |
正常值y | 55 | 63 | 72 | 80 | 90 | 99 |
其中
，
，
，
（1）作出散點圖；
（2）根據上表數據用最小二乘法求出y關于x的線性回方程
（精確到0.01）
（3）根據經驗觀測值為正常值的0.85～1.06為正常，若1.06～1.12為輕度焦慮，1.12～1.20為中度焦慮，1.20及以上為重度焦慮。若為中度焦慮及以上，則要進行心理疏導。若一個學生在距高考第二周時觀測值為103，則該學生是否需要進行心理疏導？
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【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的極值點；
（Ⅱ）若直線
過點
，并且與曲線
相切，求直線的方程；
（Ⅲ）設函數
，其中
，求函數
在區間
上的最小值.（其中
為自然對數的底數）
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【題目】某工廠今年初用128萬元購進一臺新的設備，并立即投入使用，計劃第一年維修、保養費用8萬元，從第二年開始，每年的維修、保養修費用比上一年增加4萬元，該設備使用后，每年的總收入為54萬元，設使用x年后設備的盈利總額y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）從第幾年開始，該設備開始盈利？
（3）使用若干年后，對設備的處理有兩種方案：①年平均盈利額達到最大值時，以42萬元價格賣掉該設備；②盈利額達到最大值時，以10萬元價格賣掉該設備．問哪種方案處理較為合理？請說明理由．
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