Question

【題目】某農科站技術員為了解某品種樹苗的生長情況，在該批樹苗中隨機抽取一個容量為100的樣本，測量樹苗高度（單位：cm）．經統計，高度均在區間[20，50]內，將其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中高度不低于40cm的樹苗為優質樹苗．

（1）已知所抽取的這100棵樹苗來自于甲、乙兩個地區，部分數據如下2×2列聯表所示，將列聯表補充完整，并根據列聯表判斷是否有99.9%的把握認為優質樹苗與地區有關？

（2）用樣本估計總體的方式，從這批樹苗中隨機抽取4棵，期中優質樹苗的棵數記為X，求X的分布列和數學期望．

	甲地區	乙地區	合計
優質樹苗	5
非優質樹苗		25
合計

附：K2＝，其中n＝a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

【答案】（1）列聯表見解析，有99.9%的把握認為優質樹苗與地區有關；（2）分布列見解析，EX＝1

【解析】

(1)補全列聯表再求解k2對比表中的數據判斷即可.

(2)易得從總體中隨機抽1顆樹苗為優質樹苗的概率為,再利用二項分布求解即可.

（1）由題意知5a+0.04×2+0.07＝,解得a＝0.01．

樣本中優質樹苗的個數為100×（0.04+0.01）×5＝25,

所填表格為：

	甲地區	乙地區	合計
優質樹苗	5	20	25
非優質樹苗	50	25	75
合計	55	45	100

k2＝≈16.5＞10.828,所以有99.9%的把握認為優質樹苗與地區有關．

（2）容量為100的樣本中有25顆優質樹苗,故可以認為從總體中隨機抽1顆樹苗為優質樹苗的概率為,

所以X～B（4,）,P（X＝k）＝,k＝0,1,2,3,4,

所以X 的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P

EX＝np＝4×＝1．