Question

已知四面體ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求證：BD⊥AC；
（Ⅱ）求直線CA與平面ABD所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵AD=DC，∠ADB=∠CDB=120°，BD=BD
∴△ADB≌△CDB
∴AB=BC，取AC中點M，
則MB⊥AC，DM⊥AC
∴AC⊥平面BDM，
∴AC⊥BD．
（Ⅱ）過點C作CH⊥BD交BD延長線于H，連結HA，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴CH⊥平面BAD，
∴∠CAH為CA與平面BAD所成角，
∵DC=AD，∠ADH=∠CDH=60°，DH=DH，
∴△HAD≌△CDHk，
∴AH=HC
∴在Rt△HAC中，∠HAC=45°
∴直線CA與平面ABD所成角的大小為45°．